mercoledì 29 luglio 2009

L' arte di contare I

mazapegul

La matematica inizia (prei)storicamente col contare gli oggetti, quindi con il lento sviluppo del concetto di numero. Saper contare oggetti e configurazioni di oggetti è tutt' ora la base dell' insegnamento matematico elementare. Sorprenderà forse qualcuno sapere che una delle più difficili branche della matematica, ufficialmente chiamata calcolo combinatorio, consiste proprio nell' arte di contare gli oggetti (e le loro configurazioni).
Non voglio entrare nello specifico della disciplina, di cui nemmeno sono esperto, quanto piuttosto -nello spirito di queste pagine blogghiere- cercare di far passare (anche ludicamente) alcune idee sulla matematica e sulla sua relazione con la nostra vita e con la nostra visione delle cose. In questo primo post non farò uso di lettere al posto dei numeri, ma spero che alla fine della lettura anche i più accerrimi nemici dell'algebra saranno convinti che se avessi usato un pò di calcolo letterale, avrei trasmesso qualche verità più generale, e più facile da ricordare.

Partiamo dal seguente problema (fig. 1). Abbiamo un albero, con un tronco che si divide in due rami, che a loro volta si dividono in due rami ciascuno, che a loro volta... Diciamo che abbiamo avuto 5 divisioni. Su ciascuno dei rametti ottenuti con l'ultima divisione ci sono due foglie. Quante foglie ci sono sull'albero?
La risposta è facile:

2x2x2x2x2x2=64 foglie.

La seconda domanda è un pò più difficile: quanti rami ci sono sull' albero (includendo il tronco)? Scriverne un' espressione è facile:

1+2+2x2+2x2x2+2x2x2x2+2x2x2x2x2=1+2+4+8+16+32,

un pò meno calcolarla. Comunque, a mente o con la calcolatrice si giunge alla risposta: 63.
Balza subito all' occhio che 63=64-1, cioè che, per questo particolare albero, si ha la formula:

Num(rami)=Num(foglie)-1.

All' irrequieta mente umana vengono subito in mente alcune domande: (i) è un caso che vengano due numeri che differiscono di uno? (ii) Cosa succede se l'albero si biforca un numero di volte diverso da cinque? (iii) Cosa succede se l'albero si triforca (o quadriforca, o "pentaforca"...) invece di biforcarsi? [Notate che la domanda (i) è in realtà abbastanza generica e che le domande (ii) e (iii) sono diverse maniere di precisarla: i fatti matematici hanno di verse generalizzazioni].
Visto l'aspetto balneare del post, tralascio la più complicata (iii) e mi concentro su (ii). La volenterosa lettrice può facilmente verificare che con tre, sette, una e nessuna biforcazioni, rispettivamente, il fenomeno (foglie=rami+1) rimane inalterato. [Io, prima di aver fatto il conto, mi sarei aspettato molte più foglie che rami; qualcuno magari si aspetta molti più rami che foglie.]

Come primo problema che vi lascio per il vostro tempo libero c'è una vecchia storia. Un uomo aveva aiutato il re per importanti affari di stato, e gli venne chiesto cosa volesse per ricompensa. L'uomo disse: "se non è per Voi troppo, Maestà, vorreio che metteste un chicco di grano sul primo quadratino d'una scacchiera; due sul secondo; quattro sul terzo; e via raddoppiando sino al sessantaquattresimo quadrato." Il re rispose che non c' era problema (ci fu, invece). Quanti chicchi di grano vennero dati a quell' uomo?

Potenze. Per affrontare questo tipo di problemi, che richiedono moltiplicazioni ripetute, s'è introdotta l'operazione potenza, che purtroppo l' editor di blogger non permette di scrivere. Moltiplicare 2 per sestesso 6 volte (cioè, con 6 fattori pari a 2), si scrive "2 alla 6". Vedi illustrazione allegata (fig. 2) per vedere come si scrive.

Veniamo ora a un problema apparentemente di tutt' altro tipo. Abbiamo un filo e delle perline bianche e nere; più un cuoricino e un quadrifoglio che utilizzeremo come perline d'inizio e fine. Tra bianche e nere, vogliamo infilare sul filo sei perline. Quanti sono i possibili braccialetti che possiamo fare in questa maniera? (fig. 3)
Ragionando un poco, abbiamo due modi per scegliere la prima pallina (e siamo a 2), per ciascuno di questi due modi per mettere la seconda pallina (e siamo a 2x2=4), e così via: i possibili braccialetti diversi tra loro saranno

2x2x2x2x2x2=64.

C' è qualche relazione tra questo problema e quello delle foglie sull'albero? (Essendo apparsa la stessa operazione, c'è da aspettarselo! Vedi fig. 4).

Prendiamo ora il problema di fare dei braccialetti, sempre con perline bianche e nere, ma senza quadrifogli e cuoricini che ci dicano dov' è l'inizio e la fine. Abbiamo, quindi, un cerchietto con sei perline bianche e nere. Quanti braccialetti diversi tra loro possiamo fare? (fig. 5)

Lo stesso tipo di enumerazione si fa in situazioni più "probabilistiche", ed è questa la ragione prima per cui l' arte di contare è così attuale, e in continuo sviluppo. Prendiamo una moneta con testa e croce sulle due facce, e lanciamola sei volte. Al primo tiro abbiamo testa o croce, così al secondo, così al terzo... I possibili esiti dei sei lanci sono (pensateci un pò) 64, come le foglie dell' albero, come i braccialetti diversi tra loro...

Per finire, consideriamo una situazione che, apparentemente, nulla ha a che fare con l' enumerazione di oggetti. (fig. 6) Achille deve correre la lunghezza di uno stadio. A metà strada si ferma e pianta una bandierina (ha fatto 1/2 stadio, gliene rimane 1/2 da correre). A metà del rimanente mezzo stadio, pianta un' altra bandierina (ha percorso 1/2+1/4 stadio, gliene rimane 1/4), e procede così finché non ha piantato sei bandierine. Ha quidni percorso 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64 di stadio, e gli rimane da percorrere 1/32 di stadio. [Potete seguire Achille piegando a metà un foglio ripetutamente: ogni piegatura corrisponde a una bandierina, l'area di foglio dopo 6 piegature è la distanza che rimane (coloratela con la matita), la parte di foglio non colorata è la distanza già percorsa]. Calcolando la distanza percorsa in due maniere (anche, cioè, come distanza da percorrere all'inizio meno quella che ci è rimasta dopo la sesta bandierina), abbiamo l'uguaglianza:

1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64=1-1/64.

Notate come siano richieste meno operazione per calcolare l'espressione a destra dell'uguale, rispetto a quella a sinistra. Ora, essendo i due numeri uguali, rimangono tali dopo averli moltiplicati per 64; quindi:

32+16+8+4+2+1=64-1

Sono esattamente le uguaglianze da cui eravamo partiti: 63=64-1. Adesso, però, sappiamo da Achille (che può piantare sette, tre, o sessantaquattro bandierine) che l'uguaglianza vale in tutta generalità. Per esempio,

1+2+2x2+2x2x2+2x2x2x2+2x2x2x2x2+2x2x2x2x2x2
+2x2x2x2x2x2x2+2x2x2x2x2x2x2x2=
=2x2x2x2x2x2x2x2x2-1,

cioè,

1+2+4+8+16+32+64+128+256=2x256-1=512-1=511

PS Metterò la risposta ai due indovinelli di questa settimana la settimana prossima.

5 commenti:

mazapegul ha detto...

Il programma per passare da pdf a jpeg funziona, ma il meglio che sono riuscito a ottenere è il disegno sbiadito che vedete. Cercherò un' altra maniera: abbiate pazienza.
Maz

Solimano ha detto...

Faticosamente, sono arrivato a capire (non tutto...). Màz, secondo me, pretendi un po' troppo da noi. Può darsi che mi sbagli, sono sicuramente un po' arrugginito, ma partire un po' più schiso sarebbe meglio. Però gli esempi sono molto gradevoli, viene voglia di andare in giardino a contare i rami e le foglie sui rami. Ma i miei rami sono un po' barocchi e sicuramente più fogliosi (o foglianti?).

grazie Màz e saludos
Solimano

mazapegul ha detto...

Solimano, grazie per il pronto riscontro. Farò alcuni aggiustamenti già a questo testo e terrò conto delle tue osservazioni per i prossimi. Una difficoltà intrinseca è data dal fatto che non posso scrivere le operazioni come Dio comanda, per le limitazioni dell'editor, e che mi viene difficile alternare testo e figure.
Saluti,
Maz

annarita ha detto...

Oh-mio-Dio! Proprio in questi giorni, su suggerimento di mio figlio, mi sto cimentando in un grazioso giochetto per il Nintendo DS: Il professor Layton e il paese dei misteri. Quando l'ho iniziato ed ho scoperto, con orrore, che brulicava di giochetti matematici, sono stata sul punto di arrendermi e di accantonarlo. Poi ho dato retta all'orgoglio e mi sono messa di buzzo buono a lavorare di meningi. Adesso mi applicherò anche qui, con l'ausilio di carta e penna, che a memoria è proprio impossibile! Grazie e salutissimi, Annarita

Silvia ha detto...

AIUTOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO

La prima cosa che mi viene da dire é: chiamiamo il giardiniere subito!
E Achille perchè non si fa un bel giro in biciclina invece di piantare bandierine in un campo?
A me i protagonisti dei giochi matematici mi sono sempre antipatici.
Lo devo leggere con molta calma Maz, così, devo ammettere che non ho capito molto:) Ma io sono anche un caso patologico, l'algebra mi veniva sempre dalla mezzanotte in poi. Giuro.